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• 本文标题：代数数与超越数.pdf
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• 内容摘要：代数数与超越数学院专业班级学号姓名专业班级指导教师2020年5月中文题目代数数与超越数英文题目AlgebraicNumbeandTracendentalNumbe姓名安梓铭学号学院专业班级指导教师职称完成日期2020年5月8日诚信声明本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文）是本人在指导教师的指导下独立完成的。除文中已经注明引用的内容外，毕业设计（论文）中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本文做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。作者签名：日期：论文题目：代数数与超越数专题题目：任务主要内容：任一复数x如果x是某个整系数多项式的根，我们就说x是代数数，否则就说x是超越2数。比如2就是代数数，它是x?2=0的根，而e是超越数。对于任何一个复数x，我们都?可以问一个问题：x是代数数还是超越数？比如cos1是代数数还是超越数？如果x是代数数，我们还可以问：x的最小多项式（以为根的次数最低的不可约整系数多项式）是什么？该论文主要研究代数数与超越数的一些判定方法，并找到一些常见代数数的最小多项式。任务目标要求（文献阅读、外文资料翻译、设计或实验工作量，图纸、软硬件数量及技术指标等）：本论文要求阅读一定数量的文献资料，深入学习代数数与超越数的相关知识，归纳总结已有代数数与超越数的判定方法，并给出一些著名常数的超越性的证明，同时找到一些常见代数数的最小多项式。。。，。摘要本论文从定义出发，通过举例认识一些常见的代数数。结合实变函数的可列性和抽象代数学的域论，分析代数数的可列性和四则运算及开方封闭性。然后，从最简单的超越数——刘维尔数出发，分析超越数的无理性和判定方法。并分析两个特殊数e?的无理性和超越性。尽管如此，还有很多数的超越性有待发现，例如e?e+?等。关键词：代数数；超越数；可列性；封闭性；无理性；判定方法ABSTRACTFitlybasedonthedefinitionthisthesiswillintroducesomecommonalgebraicnumbethroughexamples。Combiningthecountabilitytheoryofrealvariablefunctionandthedomaintheoryofabstractalgebraictheorythispaperanalyzesthecountabilityofalgebraicnumbeandtheclosednessfourarithmeticoperationandrooting。ThenstartingfromthesimplesttracendentalnumbertheLiouvillenumbertheirrationalityandcriterionoftracendentalnumberwillbeanalyzed。Meanwhilethisthesiswillanalyzetheirrationalityandtracendenceofthetwospecialnumbewhicharee?。Stilltherearealotoftracendenceofnumbehavenotbeendiscoveredforexamplee?e+?。Keywords:algebraicnumbertracendentalnumbercountabilityclosednessirrationalitycriterion目录1引言。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12代数数相关概念。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。22。1代数数的定义及举例。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。22。2代数数的可数性（可列性）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。32。3代数数的封闭性。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。43最早发现的超越数——刘维尔数。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。63。1刘维尔常数的发现。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。73。2刘维尔数的相关定理。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。73。3刘维尔数的相关性质。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。94e的无理性与超越性。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10e4。1的各种定义。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10e4。2是一个无理数。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10e4。3是超越数证明方法。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11?5的无理性与超越性。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。135。1?的定义及逼近。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13?5。2是一个无理数。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。13?5。3的超越性。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14?5。4证明的超越性的意义。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。166证明超越性的简便方法。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。187尚未发现的超越性。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。19参考文献。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。21致谢。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。221引言首先从定义出发通过简单的例子认识代数数。并结合实变函数中可数理论说明代数数的可数性同时结合抽象代数中域的理论说明代数数对于四则运算及开方的封闭性。不是代数数的数就是超越数。在1851年刘维尔构造出了最简单的超越数——刘维尔数。随后厄尔米特与e?e?林德曼相继在1873年与1882年证明了也是超越数。本论文从的定义与逼近出发分?析这两个数的无理性与超越性在证明过程中运用到了函数的构造以及反证法。更重要的是的超越性解决了古希腊的三大数学难题——二倍立方体、化圆为方、三等分问题。随后在1895e?年魏尔斯特拉斯证明了更简单的超越数判定方法利用这种方法更简便的证明了的超越e+?e?性。尽管如此还有很多数的超越性有待发现例如等。2代数数相关概念2。1代数数的定义及举例nn?1定义1（代数数）满足形如（为正整数ax+ax+。。。+ax+a=0nnn?110a?0aa。。。a?Z）的复数x叫代数数其中首项为1的整系数代数方程的根叫做代数整n01n数。定义2（超越数）如果一个数它不满足代数数的性质那么这个数被称为超越数。下面列举几个代数数的例子。2例15是代数数因为它满足x?5=0。2例2i是代数数它满足x+1=0。133例3?i是代数数它满足x?1=0。221??例4cos1是代数数我们已知cos60=利用60倍角公式将cos60x展开得出26060258456cos60x=sinx+cosx1770sinxcosx+487635sinxcosx65485250063860sinxcosx+2558620845sinxcosx1050124875394027566sinxcosx+1399358844975sinxcosx1446164417345898649800sinxcosx+149608375854525sinxcosx18422040925029565741050sinxcosx+4191844505805495sinxcosx2238243614154280149473100sinxcosx+36052387482172425sinxcosx2634283269886166503903470sinxcosx+103719945525634515sinxcosx30303228118264581564861424sinxcosx+103719945525634515sinxcosx3426362469886166503903470sinxcosx+36052387482172425sinxcosx3822402014154280149473100sinxcosx+4191844505805495sinxcosx42184416925029565741050sinxcosx+149608375854525sinxcosx4614481217345898649800sinxcosx+1399358844975sinxcosx501052875394027566sinxcosx+2558620845sinxcosx54656458250063860sinxcosx+487635sinxcosx1770sinxcosx（）11?取x=1则有（）式结果为即满足cos60x?=0。22?当x=cos1时展开cos(60arccosx)得到60cos(60arccosx)=576460752303423488x58568646911284551352320x+61609242902428385280x54277421737046022553600x5250+886139521680487219200x2136401828633320095744x4846+4038722592709594316800x6139729224496526131200x4442+7637764119415750656000x7870724245062418432000x4038+6776693574998742269952x4903358987475898859520x3634+2992240771003087585280x1542644587342017331200x3230+671912743399745126400x246865719056498950144x2826+76268883373279150080x19719314579411435520x242220+4238609284595712000x750870450929664000x+108406921352970240x18161412574673417011200x+1150672866508800x81128521728000x121086+4272393216000x161130258432x+4101166080x64440320x42+539400x1800x+1()?1x=cos1这是一个60次方的整系数多项式将代入()的值为即满足2?1cos1cos(60arccosx)?=0因此得出是一个代数数。22。2代数数的可数性（可列性）我们在实变函数中学到了可列的概念顾名思义可列集就是元素可以一个一个数出来的集合即可以按照编号排成一个无穷的序列。下面给出严格的定义定义1（对等）设A和B是两个非空集合如果存在一个从A到B的双射则称A与B是对等的记为A~B。显然对等具有以下三条性质:1)自反性即𝐴~𝐴2)对称性如果𝐴~𝐵则𝐵~𝐴3)传递性如果𝐴~𝐵𝐵~𝐶则𝐴~𝐶定义2（可列集合）与自然数集N对等的集合称为可列集。显然，整数集合𝑍是可列集以及奇数集合𝐴={1357…2𝑛?1}都是可列集合。下面有几个重要的关于可列集的定理。定理1可列集的有限并及可列并都是可列集。证明设{𝐴}是一列可列集，那么每个𝐴的元素都可以用编号排序。设𝑖𝑖𝐴={𝑎𝑎…𝑎}(𝑖=12…)𝑖𝑖1𝑖2𝑖𝑗…∞考虑可列并的情形这样?𝐴中的元素可以用以下方式排序：𝑖𝑖=1𝐵:𝑎111𝐵:𝑎𝑎21221……𝐵:𝑎𝑎…𝑎…𝑎𝑘1𝑘2𝑘?1𝑠𝑘?𝑠+1𝑘1……在编号排序中若遇到编号重复元素则跳过不编号。利用𝐵这种编号方式，可以排列为𝑖一种无穷序列。同理有限并也能用这种形式进行编号因此可列集的有限并或者可列并都可列。定理2如果𝐴𝐴…𝐴都是可列集那么它们的直积𝐴×𝐴×…×𝐴也是可列集。12𝑛12𝑛证明不失一般性不妨证明𝑛=2的情形。设{}𝐴=𝑎𝑎…𝐴={𝑏𝑏…}112212对于每一个正整数𝑘≥1设𝐸=𝐴×{𝑏}={(𝑎𝑏):𝑎∈𝐴}𝑘1𝑘𝑖𝑘𝑖1∞则有𝐴×𝐴=?𝐸。又因(𝑎𝑏)与𝑎对应可推出𝐸~𝐴这说明𝐸是可列集。因此由定理112𝑘𝑖𝑘𝑖𝑘1𝑘𝑘=1可知𝐴×𝐴可列。12定理3整系数多项式的全体是一个可列集。?证明设P（n=0123。。。）是一个n次整系数多项式的全体则有P就是一个整系数多n?nn=0项式的全体。构造一个对应关系nf:a+ax+。。。+ax?(aa。。。a)01n01n说明多项式与整数的乘积是对应的即P~Z?Z?。。。?Z(Z=Z=。。。=Z=ZZ=Z??0?)n01n01n?1n由于Z(i=012。。。n)都是可列的说明Z?Z?。。。?Z也是可列的集合P也可列。i01nn?P是可列集的可列并它是可列的。?nn=0定理4代数数集是可列集。证明将代数数集记为A。根据上面的定理设整系数多项式的全体记为{pp。。。p。。。}再设12nA=?x:x是p的实零点?nn?由代数基本定理可知A最多有n个实根因此A是一个有限集并且A是n?nn=1可列集的可列并因此A是可列集。同时有理数集也是可列集，这个事实非常重要，下面对这一事实进行说明对每一个𝑛=123…令12𝐴={…}𝑛𝑛𝑛+∞对于每一个{𝐴}都是可列集。推出正整数集𝑄=?𝐴也是可列集，又因为负𝑛𝑛𝑛=1?有理数集与正有理数集对等，负有理数集𝑄也是可列集，说明有理数集+?𝑄=𝑄∪𝑄∪{0}也是可列集。由于代数数集是可列集而实数集合R是不可列集合这说明了超越数是存在的。2。3代数数的封闭性首先给出对称多项式的结论随后在证明中会用到。结论1如果f(xx。。。x)是未定元xx。。。x的对称多项式那么f(xx。。。x)=12n12n12ng(yy。。。y)且g(yy。。。y)的系数由f(xx。。。x)的系数经过加法和减法给出其中12n12n12n
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