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• 本文标题：探究高中导数问题的一般性解题方法.docx
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• 内容摘要：探究高中导数问题的一般性解题方法甄珠摘要：对于科学技术研究而言，导数是重要的研究工具和手段。对于中学阶段而言导数是进一步研究函数的方法与手段也是高考命题的热点在研究函数一些性质和意义方面时有着广泛的应用同时对研究几何、不等式起着重要作用。学生运用导数解决函数问题能够有利于更好地理解问题更好地掌握函数及其性质并发展学生的思维。本文就高中导数部分相关知识和应试要求进行阐述解决导数问题的一般性解题方法并加以例题的论证应用。关键词：高中数学；导数；解题方法1高中导数研究趋势1。1导数的地位及意义在科技的发展研究中导数起着至关重要的作用，为数学的发展和其他学科的发展进步奠定了基础。由于数学的的抽象性，导数在其他自然学科等方面都有广泛且深入的应用，是深入研究发展科学的重要手段。对于中学阶段而言导数对于研究函数和其他方面有着广泛的应用从而也就导致了导数部分不仅是中学数学中的重点更是高考中着重考察的重难点并且利用导数求函数的极值与最值、结合单调性与最值求参数范围、证明不等式更是高考的热点所占分值较高。虽然导数在研究函数中的应用在中学教学和高考中是重点但我们不能忽视概念的教学否则学生很难体会学习理解导数及其应用时涉及的数学思想与方法。事实上导数中动态的变化过程与静态思想方法较多的初中教学有很大的差异囿于学生的认知水平和可接受能力人教版的教材中并没有突然地引进极限的概念而是从学生的实际生活和其他学科知识出发通过实例引导学生体会由平均变化率到瞬时变化率的过程直至建立起整个高中阶段的导数的教学模型。1。2中学教学对导数的要求1。21课程标准对导数相关内容的要求《普通高中数学课程标准（实验）》[1]教学与高考的基本依据它对高中数学的每一块知识都有相应的具体横向和纵向的要求。通过对导数这部分知识的要求的研究可知微积分是数学发展和进步的里程碑，它提供了重要的方法来研究函数及变量。其中导数又是学习微积分的核心与基础。在高中时期导数的学习中学生不仅要能理解和掌握导数的相关知识及其在应试解题中的应用还要从中体会导数相关知识在解决实际问题中的实用性，更重要的是要向学生渗透相应的数学思想进而提升学生的数学能力和数学素养。1。22高考大纲对导数相关内容的要求导数自1986年第一次作为选修内容放到中学教学以后就逐步成为研究函数问题的重要手段近几年来更是成为六高考的热点、难点并逐步成为了高考压轴题的必考内容。通过研读“2018年普通高等学校招生统一考试理科数学教学大纲”[2]阐述高考大纲对导数及其应用的相关要求再结合高中导数应用试题发现学生如果想要达到《课程标准》和考纲的要求并且能在高考数学中迅速、准确地解决导数应用试题需要对导数及其应用这部分知识极其的熟悉并且能够完全熟练掌握加以应用如：能求基本初等函数的导数和部分的复合函数的导数，会根据导数求函数的单调区间和“四值”等。除此之外还需要多种数学思想作为支撑和数学能力作为辅助做到举一反三以不变应万变。因此基于导数如此重要的地位，应用试题的解题策略和方法的研究是这一块知识教学的重点和难点解题策略与方法的研究可以帮助学生在达到课标和考纲要求的同时做到高效率解题进一步也可以培养学生思维锻炼学生对新知识的内化能力将新知识与头脑中原有的认知建立起联系构建整个高中阶段导数的框架这也锻炼了学生归纳总结的能力。2导数相关概念的界定2。1导数的概念一般地函数在处的瞬时变化率是我们称它为函数在处的导数（）记作或即。2。2几何意义函数在点处的导数就是曲线在点处的切线斜率即相应地切线方程为。2。3物理意义函数在点处的导数是物体的运动方程在时刻的瞬时速度即那么在点处的导数是物体的运动方程在时刻的瞬时加速度即。2。4导数与函数的单调性设函数在内可导是的导数则在内单调递增在内单调递减在内为常函数注：对于在内可导的函数来说是在上为递增函数的充分不必要条件；是在上为递减函数的充分不必要条件。例如：在整个定义域上为增函数但所以在处并不满足即并不是在定义域任意一点处都满足。分析解读：导数的概念、几何意义与运算等是高考热点常考题型多为选择题、填空题和解答题第一问。学习过这部部分的知识后学生应达到理解导数概念会求过曲线上某点的切线的斜率并能写出切线方程能将几何关系转化为代数关系，会计算应试试题中的导数的水平。3导数的应用3。1利用导数的几何意义求曲线的切线方程若已知曲线过点求曲线过点的切线方程。此时需要分别讨论点是切点和不是切点两种情况来进行求解：⒈当点是切点时可以直接根据导数的几何意义和点斜式直线方程表达式写出切线方程为；⒉当点不是切点时步骤当点不是切点时一因为点不是切点所以要先设出切点坐标二根据导数的几何意义与点斜式方程表达式写出过点的切线方程此时方程中需要求出的值三因为点在切线方程上所以将坐标带入切线方程求出和四将和的值代入方程就可得过点的切线方程例1已知为偶函数当时则曲线在点处的切线方程是分析：根据已知条件和函数的性质求出当时函数的解析式在判断点是否在曲线上即该点是否是切点，最后根据导数的的几何意义和点斜式直线方程的表达式写出所求的切线方程。解析：令则又则在点处的切线方程为即。例2已知则曲线过点的切线方程是分析：本题考查“过某点的切线方程”该点又不在曲线上，所以需要设出切点坐标再求解。解析：由题意得点不在曲线上设直线与曲线相切于点则所求切线方程的斜率所以切线方程为由在曲线上得将代入切线方程得解得或所以所求切线方程为或即或。例3定义曲线上的点到直线的距离最小值称为曲线到直线的距离，已知曲线到直线的距离等于曲线到直线的距离，则实数解析：曲线到直线的距离为设曲线上的点到直线的距离最短，则过点的切线平行于直线。对应的导函数为，由得出，所以点为，由题意知解得或当直线与曲线相交，不合题意舍去。3。2利用导数研究函数单调性方法一：方法二：①首先求出函数的定义域确保原函数及导函数在定义域内有意义；②根据求导法则和四则运算等求出导函数；③在定义域内解不等式和若不等式中带有参数则一般需对参数进行多种情况分类讨论；④确定函数的单调区间若函数中带有参数最后所求区间也带有参数。例4已知函数讨论函数的单调性。解析：函数的定义域为得其判别式。①当即时此时在上单调递增；②当即时方程的两根为若则则时时即在上单调递减在上单调递增；若则则时时时即在上单调递增在上单调递减在上单调递增。综上所述当时函数在上单调递减在上单调递增；当时函数在上单调递增在上单调递减在上单调递增；当时函数在上单调递增。3。3利用导数与函数的单调性求参数的取值范围这类求参数问题一般可将函数单调性问题转化为(或)，分离参数，最后转化为不等式问题求解。例5设函数⑴若在处取得极值确定的值并求此时曲线在点处的切线方程；⑵若在上为减函数求的取值范围。解析：⑴对求导得因为在处取得极值所以即当时故从而在点处的切线方程为化简得。⑵由（1）可知令由解得当时即故为减函数；当时即故为增函数；当时即故为减函数。由在上为减函数知解得故的取值范围为。例6已知函数在上单调递减且满足。⑴求的取值范围。⑵设求在上的最大值和最小值。分析：⑴将用含的代数式表示出来根据已知条件转化为恒成立问题求解。⑵化简通过对求导然后分类讨论求最值。解析：⑴由得则依题意对于任意有当时因为二次函数的图象开口向上，而所以需即；当时对于任意有且只在时符合条件；当时对于任意且只在时符合条件；当时，因不符合条件。故的取值范围为。⑵因i当时，在处取得最小值，在处取得最大值ii当时，对于任意有在处取得最大值，在处取得最小值iii当时，由得若，即时，在上单调递增，在处取得最小值，在处取得最大值若即时，在处取得最大值，在或处取得最小值，而由得则当时，在处取得最小值；当时，在处取得最小值3。4利用导数研究函数的极（最）值解决函数极值问题的一般思路求定义域求导函数知方程根的情况解方程得关于参数的方程（不等式）确定左右的符号得参数（范围）得极值例7已知函数（为常数为自然对数的底数）。⑴当时讨论函数在区间上极值点的个数；⑵当时对任意的都有成立求正实数的取值范围。解析：⑴当时记则令当时；当时所以当时取得极小值又所以(i)当即时所以函数在区间上无极值点；(ii)当即时有两个不同的解函数在区间上有两个极值点；(iii)当即时有一个解函数在区间上有一个极值点；(iv)当即时函数在区间上无极值点。⑵当时对任意的都有成立即即记由于当时；当时所以当时取得最大值又当时当时所以当时取得最小值所以只需即正实数的取值范围是。3。5利用导数解决不等式问题的常见类型及解题策略3。51利用导数证明不等式若证明则可以通过构造函数证明；如果证明在上的最大值小于0那么即可证明。3。52利用构造函数证明不等式这一类问题常见于选择填空主要是通过题目中的与的关系式构造出我们需要的函数再通过已知条件和构造函数的导数来判断构造函数的单调性从而解决相应的问题：⑴关系为“加”：①构造②构造③构造⑵关系为“减”：①构造；②构造；③构造。例8设函数是奇函数的导函数当时则使得成立的的取值范围是解析：令则由题意知当时在上是减函数。是奇函数。当时从而当时从而。又是偶函数当时从而当时从而。综上所求的取值范围是。此外还可能有一些特殊的构造比如接下来这个问题：例9定义在上的函数是它的导函数且恒有成立则解析：令则由题意知当时在上是增函数即故选A。3。53利用导数解决不等式的恒成立问题“恒成立”问题一般都可以通过求相关函数的最值来解决如：当在上存在最大值和最小值时若对于恒成立应求在上的最小值将原条件转化为；若对于恒成立应求在上的最大值将原条件转化为；若存在使得成立则应求在上的最大值将原条件转化为；若存在使得成立则应求在上的最小值将原条件转化为。例10已知函数。⑴若求的值；⑵设为整数且对于任意正整数求的最小值。解题引导：⑴⑵换元后求出的范围由(1)得当时令得出的最小值解析：⑴定义域为。①若因为所以不满足题意；②若由知当时；当时。所以在上单调递减在上单调递增。故是在上的唯一最小值点。由于所以当且仅当时。故。⑵由(1)可知当时令得从而故。而所以的最小值为3。例11已知函数（为自然对数的底数）。⑴求的单调区间。⑵设，其中为的导函数，证明：对任意分析：⑴求出以及的根，再判断的符号。⑵直接求的最值很困难，可以对进行放缩，再求最值。解析：⑴由得，得令可得，当时，；当时，。故在区间上是增函数；在上为减函数。⑵因此，对于任意的，等价于令则因此，当时，单调递增；当时，单调递减。所以故。设单调递增，故时，即，所以因此，对任意3。6利用导数研究函数零点或方程的根方法：⑴先求出函数的定义域和导函数；⑵根据导函数来求函数的单调区间和极值；⑶根据函数的单调性等性质做出大致图象；⑷判断函数零点的个数。在高考中这类问题通常含有参数，此时则需要我们对参数进行多种情况的分类讨论。例12已知函数有两个零点。⑴求的取值范围；⑵设是的两个零点证明：。解析：⑴(i)设则只有一个零点；(ii)设则当时；当时所以在上单调递减；在上单调递增。又取满足且则故存在两个零点。(iii)设由得或若则故当时因此在上单调递增又当时所以不存在两个零点。若则故当时；当时。因此在上单调递减在上单调递增。又当时所以不存在两个零点。综上的取值范围为。⑵不妨设由(1)知在上单调递减所以等价于即。由于而所以设则所以当时而故当时从而故得证。3。7利用导数解决生活中的优化问题这类问题一般都将实际问题转化为求函数的“四值”问题，因此，导数就成为了解决此类问题的有力工具。解决优化问题的基本思路：例13请你设计一个包装盒。如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，使硬纸板刚好折成一个正四棱柱形状的包装盒。在上，的长是被切去的等腰直角三角形斜边的长。设⑴甲厂商要求包装盒的侧面积最大，试问此时应取何值？⑵乙厂商要求包装盒的体积最大，此时应如何取值？此时包装盒的高与底面边长的比值是多少？分析：本题主要考查求函数的最值，其中有配方法和通过导数求函数最值的方法。⑴由图写出侧面积的函数表达式，再对表达式进行化简、配方，可以求出的最大值和与之相对应的值。⑵由图写出体积的函数表达式，对其进行化简，再通过求导判断函数的单调性，进而求得的最大值和与之对应此时的值，再求长度比即可。解析：⑴由题意可知，时，侧面积最大。⑵由题可知，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，当时，最大。此时包装盒的高与底面边长的比值为例14某工厂生产某种碳素笔每百支的碳素笔的成本价格为30元并且每百支碳素笔的加工费为元（其中为常数且）。设该工厂碳素笔的出厂价为元／百支（）根据市场调查日销售量与成反比例当每百支碳素笔的出厂价为40元时日销售量为10万支。⑴当每百支碳素笔的出厂价为多少元时该工厂的日利润最大？并求出的最大值。⑵已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂盈利。若该工厂在出厂价规定的范围内总能盈利则百支碳素笔的加工费最多为多少元？（精确到0。1元）解析：⑴设日销量为百支则（为常数且）时。令可得当时当时故当时。⑵由题意知时恒成立综合(1)可知解得所以每百支碳素笔的加工费最多为4。9元。分析解读：优化问题是导数与现实实际生活的一个结合，在应试中此类问题一般最终都是转化为关于函数“四值”的求解。通过这部分的学习后，学生应该熟练掌握此部分相关知识，更要体会数学的思想和价值。3。8定积分与微分基本定理3。81定积分的基本性质⑴；⑵⑶（其中）。3。82定积分的几何意义⑴当函数在区间上恒为正时定积分的几何意义是由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积（图甲）。甲⑵一般情况下定积分的几何意义是介于轴、曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和（图乙）其中在轴上方的面积等于该区间的积分值在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数。乙3。83定积分的物理意义⑴变速直线运动的路程公式如果变速直线运动的速度为那么从时刻到所经过的路程。⑵变力做功公式一物体在变力的作用下沿着与相同方向从移动到时力所做的功是。3。84微积分基本定理一般地如果是区间上的连续函数并且那么这个结论叫做微分基本定理又叫做牛顿—莱布尼茨公式。为了方便我们常常把记成即。3。85计算一些简单的定积分步骤1把被积函数变形为幂函数、正、余弦函数等基本初等函数间的和或差或与常函数的积；2把被求定积分转化为上述函数的定积分；3利用微积分基本定理求出各个定积分；4计算原式。例15的值为（）解析：为奇函数故选。3。86利用定积分的几何意义求定积分当曲边梯形面积容易看出时可通过已知的图形面积求定积分。如：定积分的所表示的图形是单位圆面积的所以。例16设则的值为（）解析：由题意可知根据定积分的几何意义可知是以原点为圆心为半径的圆的面积的故选。3。87曲边梯形面积的求解步骤:当计算一个较复杂的曲边梯形的面积时，首先我们需要画出题中描述的草图，进而确定定积分的相应所需要的条件，最后计算。例17如图在边长为的正方形中是的中点则过三点的抛物线与围成阴影部分的面积是（）解题引导：解析：由题意建立如图所示的坐标系则设抛物线的方程为将代入可得所求面积故选。例18曲线直线围成的图形的面积是。分析：本题易出现的错误有两个方面：⑴不能正确画出题中图象准确分割图象通过分段积分求面积解析：作出曲线曲线直线的图象，所求面积为下图的中阴影部分的面积。解方程组得交点。解方程组得交点因此所求图形的面积为分析解读：定积分相关知识在高考分值中为5分左右常见题型为选择题。要求学生应达到了解微分基本定理会求函数的定积分和理解定积分的几何意义会求曲边梯形的面积的水平。
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